Matriks – Penjumlahan, Perkalian, Determinan, Invers

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

(Catatan: Untuk materi dasar tentang matriks, silakan buka di materi Matriks Dasar – Pengertian, Jenis, Transpose, dsb.)

Dua matriks atau lebih, dapat dijumlakan hanya jika memiliki ordo yang sama. Penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang berposisi sama. Contoh:

Jika $begin{pmatrix} 1 & 4 \ 2 & 5 \ 3 & 6 end{pmatrix}$ dan $B = begin{pmatrix} 3 & 6 \ 4 & 7 \ 5 & 8 end{pmatrix}$ ,

maka:

$A + B = begin{pmatrix} 1 & 4 \ 2 & 5 \ 3 & 6 end{pmatrix} + begin{pmatrix} 3 & 6 \ 4 & 7 \ 5 & 8 end{pmatrix}$

$= begin{pmatrix} 1+3 & 4+6 \ 2+4 & 5+7 \ 3+5 & 6+8 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 4 & 10 \ 6 & 12 \ 8 & 14 end{pmatrix}$

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:

Logika Matematika

Transformasi Geometri

Sama halnya dengan penjumlahan, pengurangan dapat dilakukan hanya jika dua matriks atau lebih, memiliki ordo yang sama. Pengurangan dilakukan terhadap elemen-elemen yang berposisi sama.

Contoh:

Jika $begin{pmatrix} 1 & 4 \ 2 & 5 \ 3 & 6 end{pmatrix}$ dan $B = begin{pmatrix} 3 & 6 \ 4 & 7 \ 5 & 8 end{pmatrix}$ ,

maka:

$B - A = begin{pmatrix} 3 & 6 \ 4 & 7 \ 5 & 8 end{pmatrix} - begin{pmatrix} 1 & 4 \ 2 & 5 \ 3 & 6 end{pmatrix}$

$= begin{pmatrix} 3-1 & 6-4 \ 4-2 & 7-5 \ 5-3 & 8-6 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 2 & 2 \ 2 & 2 \ 2 & 2 end{pmatrix}$

Sifat dari penjumlahan dan pengurangan matriks:

A + B = B + A

(A + B) + C = A + (B + C)

A – B ≠ B – A

Perkalian Matriks

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah bilangan bulat atau dengan matriks lain. Kedua perkalian tersebut memiliki syarat-syarat masing-masing.

Perkalian Matriks dengan bilangan bulat

Suatu matriks dapat dikalikan dengan bilangan bulat, maka hasil perkalian tersebut berupa matriks dengan elemen-elemennya yang merupakan hasil kali antara bilangan dan elemen-elemen matriks tersebut. Jika matriks A dikali dengan bilangan r, maka $r.A = (r.a_{ij})$ . Contoh:

Jika $begin{pmatrix} 1 & 4 \ 2 & 5 \ 3 & 6 end{pmatrix}$ dan bilangan r = 2, maka:

$r.A = 2 . begin{pmatrix} 1 & 4 \ 2 & 5 \ 3 & 6 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 2.1 & 2.4 \ 2.2 & 2.5 \ 2.3 & 2.6 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 2 & 8 \ 4 & 10 \ 6 & 12 end{pmatrix}$

Perkalian matriks dengan bilangan bulat dikombinasikan dengan penjumlahan atau pengurangan matriks dapat dilakukan pada matriks dengan ordo sama. Berikut sifat-sifat perkaliannya:

r(A + B) = rA + rB

r(A – B) = rA – rB

Perkalian dua matriks

Perkalian antara dua matriks yaitu matriks A dan B, dapat dilakukan jika jumlah kolom A sama dengan jumlah baris B. Perkalian tersebut menghasilkan suatu matriks dengan jumlah baris sama dengan matriks A dan jumlah saman dengan matriks B, sehingga:

perkalian matriks

Elemen-elemen matriks $C_{(m times s)}$ merupakan penjumlahan dari hasil kali elemen-elemen baris ke-i matriks A dengan kolom ke-j matiks B. Berikut skemanya:

perkalian elemen matriks

Misalkan matriks A memiliki ordo (3 x 4) dan matriks B memiliki ordo (4 x 2), maka matriks C memiliki ordo (3 x 2). Elemen C pada baris ke-2 dan kolom ke-2 atau a₂₂ diperoleh dari jumlah hasil perkalian elemen-elemen baris ke-2 matriks A dan kolom ke 2 matriks B. Contoh:

$A = begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 & 3 \ 2 & 5 & 1 & 2 \ 1 & 3 & 2 & 2 end{pmatrix}$ dan $B = begin{pmatrix} 1 & 3 \ 3 & 2 \ 2 & 5 \ 1 & 4 end{pmatrix}$

maka:

$A cdot B = C = begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 & 3 \ 2 & 5 & 1 & 2 \ 1 & 3 & 2 & 2 end{pmatrix} cdot begin{pmatrix} 1 & 3 \ 3 & 2 \ 2 & 5 \ 1 & 4 end{pmatrix}$

$C = begin{pmatrix} (a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} a_{14}b_{41}) & (a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32} a_{14}b_{42}) \ (a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31} a_{24}b_{41}) & (a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32} a_{24}b_{42}) \ (a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21} + a_{33}b_{31} a_{34}b_{41}) & (a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22} + a_{33}b_{32} a_{34}b_{42}) end{pmatrix}$

$C = begin{pmatrix}(2.1 + 1.3 + 4.2 + 3.1) & (2.3 + 1.2 + 4.5 + 3.4) \ (2.1 + 5.3 + 1.2 + 2.1) & (2.3 + 5.2 + 1.5 + 2.4) \ (1.1 + 3.3 + 2.2 + 2.1) & (1.3 + 3.2 + 2.5 + 2.4) end{pmatrix}$

$C = begin{pmatrix} 16 & 40 \ 21 & 29 \ 16 & 27 end{pmatrix}$

Perlu diingat sifat dari perkalian dua matriks bahwa:

A x B ≠ B x A

Sebagai pembuktian, diketahui $A = begin{pmatrix} 1 & 2 \ 2 & 1 end{pmatrix}$ dan $B = begin{pmatrix} 2 & 5 \ 3 & 4 end{pmatrix}$ maka:

$AB = begin{pmatrix} 1 & 2 \ 2 & 1 end{pmatrix} begin{pmatrix} 2 & 5 \ 3 & 4 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8 & 13 \ 7 & 14 end{pmatrix}$

$BA = begin{pmatrix} 2 & 5 \ 3 & 4 end{pmatrix} begin{pmatrix} 1 & 2 \ 2 & 1 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 12 & 9 \ 11 & 10 end{pmatrix}$

Terbukti bahwa A x B ≠ B x A. Ada sifat-sifat lain dari perkalian matriks dengan bilangan atau dengan matriks lain, sebagai berikut:

k(AB) = (kA)B

ABC = (AB)C = A(BC)

A(B + C) = AB + AC

(A + B)C = AC + BC

Determinan Matriks

Determinan dari suatu matriks A diberi notasi tanda kurung, sehingga penulisannya adalah |A|. Determinan hanya bisa dilakukan pada matriks persegi.

Determinan matriks ordo 2×2

Jika $A = begin{matrix} a & b \ c & d end{matrix}$ maka determinan A adalah:

$|A| = begin{vmatrix} a & b \ c & d end{vmatrix} = ad - bc$

Determinan matriks ordo 3×3 (aturan Sarrus)

Jika $A = begin{pmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i end{pmatrix}$ maka determinan A adalah:

determinan matriks

= aei + bfg + cdg – ceg – afh – bdi

Determinan matriks memiliki sifat-sifat berikut:

1. Determinan A = Determinan A^T

2. Tanda determinan berubah jika 2 baris/2 kolom yang berdekatan dalam matriks ditukar

sifat sifat determinan matriks

3. Jika suatu baris atau kolom sebuah determinan matriks memiliki faktor p, maka p dapat dikeluarkan menjadi pengali.

$begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \ 2 & 6 & 8 \ 4 & 5 & 2 end{vmatrix} = begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \ (2.1) & (2.3) & (2.4) \ 4 & 5 & 2 end{vmatrix} = 2 begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \ 1 & 3 & 4 \ 4 & 5 & 2 end{vmatrix}$

4. Jika dua baris atau dua kolom merupakan saling berkelipatan, maka nilai determinannya adalah 0.

$begin{vmatrix} 1 & 2 \ 3 & 6 end{vmatrix} = 3 begin{vmatrix} 1 & 2 \ 1 & 2 end{vmatrix} = 3[(1.2) - (2.1)] = 0$

5. Nilai determinan dari matriks segitiga atas atau bawah adalah hasil kali dari elemen-elemen diagonal saja.

$begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 2 & 6 & 0 \ 4 & 5 & 2 end{pmatrix} = (1.6.2) = 12$

Invers Matriks

Suatu matriks A memiliki invers (kebalikan) jika ada matriks B yang dapat membentuk persamaan AB = BA = I, dengan I adalah matriks identitas. Invers dari suatu matriks berordo (2 x 2) seperti $A = begin{matrix} a & b \ c & d end{matrix}$ dapat dirumuskan sebagai:

$A^{-1} = frac{1}{ad - bc} begin{pmatrix} d & -b \ -c & a end{pmatrix}$

Invers matriks memiliki sifat-sifat berikut:

AA^-1 = A^-1A = I

(A^-1)^-1 = A

(AB)^-1 = B^-1A^-1

Jika AX = B, maka X = A^-1B

Jika XA = B, maka X = BA^-1

Contoh Soal Matriks dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Suatu perkalian matriks $begin{pmatrix} 1 & x end{pmatrix} begin{pmatrix} 6 & -2 \ -3 & 1 end{pmatrix} begin{pmatrix} 1 \ x end{pmatrix}$ menghasilkan matriks nol. Tentukan nilai x yang memenuhui persamaan tersebut!